Datrys {l}{x+2y=-12}{3x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 12 } \\ { 3 x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+2y=-12$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-2y-12$$

Amnewid -2y-12 am x yn yr hafaliad arall, 3x-y=-1.

$$3\left(-2y-12\right)-y=-1$$

Lluoswch 3 â -2y-12.

$$-6y-36-y=-1$$

Adio -6y at -y.

$$-7y-36=-1$$

Adio 36 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7y=35$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=-5$$

Cyfnewidiwch -5 am y yn x=-2y-12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\left(-5\right)-12$$

Lluoswch -2 â -5.

$$x=10-12$$

Adio -12 at 10.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\left(-1\right)\\\frac{3}{7}\left(-12\right)-\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-2,y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

I wneud x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-12\right),3x-y=-1$$

Symleiddio.

$$3x+6y=-36,3x-y=-1$$

Tynnwch 3x-y=-1 o 3x+6y=-36 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x+6y+y=-36+1$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y+y=-36+1$$

Adio 6y at y.

$$7y=-36+1$$

Adio -36 at 1.

$$7y=-35$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=-5$$

Cyfnewidiwch -5 am y yn 3x-y=-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-\left(-5\right)=-1$$

Tynnu 5 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=-5$$