Datrys {l}{a+3b=30}{3a+5b=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 3 b = 30 } \\ { 3 a + 5 b = 30 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=-15$$

$$b=15$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$a+3b=30,3a+5b=30$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$a+3b=30$$

Tynnu 3b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$a=-3b+30$$

Amnewid -3b+30 am a yn yr hafaliad arall, 3a+5b=30.

$$3\left(-3b+30\right)+5b=30$$

Lluoswch 3 â -3b+30.

$$-9b+90+5b=30$$

Adio -9b at 5b.

$$-4b+90=30$$

Tynnu 90 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4b=-60$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$b=15$$

Cyfnewidiwch 15 am b yn a=-3b+30. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-3\times 15+30$$

Lluoswch -3 â 15.

$$a=-45+30$$

Adio 30 at -45.

$$a=-15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=-15,b=15$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$a+3b=30,3a+5b=30$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-3\times 3}&-\frac{3}{5-3\times 3}\\-\frac{3}{5-3\times 3}&\frac{1}{5-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&\frac{3}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\30\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\times 30+\frac{3}{4}\times 30\\\frac{3}{4}\times 30-\frac{1}{4}\times 30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\15\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=-15,b=15$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$a+3b=30,3a+5b=30$$

I wneud a a 3a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$3a+3\times 3b=3\times 30,3a+5b=30$$

Symleiddio.

$$3a+9b=90,3a+5b=30$$

Tynnwch 3a+5b=30 o 3a+9b=90 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3a-3a+9b-5b=90-30$$

Adio 3a at -3a. Mae'r termau 3a a -3a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9b-5b=90-30$$

Adio 9b at -5b.

$$4b=90-30$$

Adio 90 at -30.

$$4b=60$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$b=15$$

Cyfnewidiwch 15 am b yn 3a+5b=30. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$3a+5\times 15=30$$

Lluoswch 5 â 15.

$$3a+75=30$$

Tynnu 75 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3a=-45$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$a=-15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=-15,b=15$$