Datrys {l}{9x+2y=62}{4x+3y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 3 y = 36 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=6$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9x+2y=62$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=-2y+62$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â -2y+62.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

Amnewid \frac{-2y+62}{9} am x yn yr hafaliad arall, 4x+3y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+3y=36$$

Lluoswch 4 â \frac{-2y+62}{9}.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+3y=36$$

Adio -\frac{8y}{9} at 3y.

$$\frac{19}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

Tynnu \frac{248}{9} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{19}{9}y=\frac{76}{9}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{19}{9}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{9}\times 4+\frac{62}{9}$$

Lluoswch -\frac{2}{9} â 4.

$$x=\frac{-8+62}{9}$$

Adio \frac{62}{9} at -\frac{8}{9} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 3-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 3-2\times 4}&\frac{9}{9\times 3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{9}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 62-\frac{2}{19}\times 36\\-\frac{4}{19}\times 62+\frac{9}{19}\times 36\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=6,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

I wneud 9x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 3y=9\times 36$$

Symleiddio.

$$36x+8y=248,36x+27y=324$$

Tynnwch 36x+27y=324 o 36x+8y=248 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$36x-36x+8y-27y=248-324$$

Adio 36x at -36x. Mae'r termau 36x a -36x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8y-27y=248-324$$

Adio 8y at -27y.

$$-19y=248-324$$

Adio 248 at -324.

$$-19y=-76$$

Rhannu’r ddwy ochr â -19.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 4x+3y=36. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+3\times 4=36$$

Lluoswch 3 â 4.

$$4x+12=36$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=4$$