Datrys {l}{9a+3b=-3}{a+b=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 a + 3 b = - 3 } \\ { a + b = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=1$$

$$b=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9a+3b=-3,a+b=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9a+3b=-3$$

Tynnu 3b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9a=-3b-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$a=\frac{1}{9}\left(-3b-3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â -3b-3.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

Amnewid \frac{-b-1}{3} am a yn yr hafaliad arall, a+b=-3.

$$-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}+b=-3$$

Adio -\frac{b}{3} at b.

$$\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}=-3$$

Adio \frac{1}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{3}b=-\frac{8}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$b=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am b yn a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -4.

$$a=\frac{4-1}{3}$$

Adio -\frac{1}{3} at \frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=1,b=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9a+3b=-3,a+b=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-3}&-\frac{3}{9-3}\\-\frac{1}{9-3}&\frac{9}{9-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-3\right)\\-\frac{1}{6}\left(-3\right)+\frac{3}{2}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=1,b=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9a+3b=-3,a+b=-3$$

I wneud 9a a a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$9a+3b=-3,9a+9b=9\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$9a+3b=-3,9a+9b=-27$$

Tynnwch 9a+9b=-27 o 9a+3b=-3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$9a-9a+3b-9b=-3+27$$

Adio 9a at -9a. Mae'r termau 9a a -9a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3b-9b=-3+27$$

Adio 3b at -9b.

$$-6b=-3+27$$

Adio -3 at 27.

$$-6b=24$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$b=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am b yn a+b=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a-4=-3$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$a=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=1,b=-4$$