Datrys {l}{8x-4y=2}{2x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{15}{16}=0.9375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$8x-4y=2$$

Adio 4y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=4y+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(4y+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{8} â 4y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$$

Amnewid \frac{y}{2}+\frac{1}{4} am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=6.

$$2\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+3y=6$$

Lluoswch 2 â \frac{y}{2}+\frac{1}{4}.

$$y+\frac{1}{2}+3y=6$$

Adio y at 3y.

$$4y+\frac{1}{2}=6$$

Tynnu \frac{1}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4y=\frac{11}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=\frac{11}{8}$$

Cyfnewidiwch \frac{11}{8} am y yn x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{1}{4}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â \frac{11}{8} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{11}{16}+\frac{1}{4}$$

Adio \frac{1}{4} at \frac{11}{16} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{15}{16}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}\times 2+\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 2+\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

I wneud 8x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 8.

$$2\times 8x+2\left(-4\right)y=2\times 2,8\times 2x+8\times 3y=8\times 6$$

Symleiddio.

$$16x-8y=4,16x+24y=48$$

Tynnwch 16x+24y=48 o 16x-8y=4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$16x-16x-8y-24y=4-48$$

Adio 16x at -16x. Mae'r termau 16x a -16x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-8y-24y=4-48$$

Adio -8y at -24y.

$$-32y=4-48$$

Adio 4 at -48.

$$-32y=-44$$

Rhannu’r ddwy ochr â -32.

$$y=\frac{11}{8}$$

Cyfnewidiwch \frac{11}{8} am y yn 2x+3y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+3\times \frac{11}{8}=6$$

Lluoswch 3 â \frac{11}{8}.

$$2x+\frac{33}{8}=6$$

Tynnu \frac{33}{8} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{15}{8}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{15}{16}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$