Datrys {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer k, a

$$k=-500$$

$$a=7650$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer k drwy ynysu k ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$8k+a=3650$$

Tynnu a o ddwy ochr yr hafaliad.

$$8k=-a+3650$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

Lluoswch \frac{1}{8} â -a+3650.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

Amnewid -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} am k yn yr hafaliad arall, 15k+a=150.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

Lluoswch 15 â -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

Adio -\frac{15a}{8} at a.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

Tynnu \frac{27375}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{7}{8}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$a=7650$$

Cyfnewidiwch 7650 am a yn k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer k yn uniongyrchol.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

Lluoswch -\frac{1}{8} â 7650.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

Adio \frac{1825}{4} at -\frac{3825}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$k=-500$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$k=-500,a=7650$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics k a a.

$$k=-500,a=7650$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Tynnwch 15k+a=150 o 8k+a=3650 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

Adio a at -a. Mae'r termau a a -a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8k-15k=3650-150$$

Adio 8k at -15k.

$$-7k=3650-150$$

Adio 3650 at -150.

$$-7k=3500$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$k=-500$$

Cyfnewidiwch -500 am k yn 15k+a=150. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

Lluoswch 15 â -500.

$$-7500+a=150$$

Adio 7500 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$a=7650$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$k=-500,a=7650$$