Datrys {l}{7x-8y=14}{3x-2y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 14 } \\ { 3 x - 2 y = 36 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=26$$

$$y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x-8y=14,3x-2y=36$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x-8y=14$$

Adio 8y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=8y+14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+14\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â 8y+14.

$$x=\frac{8}{7}y+2$$

Amnewid \frac{8y}{7}+2 am x yn yr hafaliad arall, 3x-2y=36.

$$3\left(\frac{8}{7}y+2\right)-2y=36$$

Lluoswch 3 â \frac{8y}{7}+2.

$$\frac{24}{7}y+6-2y=36$$

Adio \frac{24y}{7} at -2y.

$$\frac{10}{7}y+6=36$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{10}{7}y=30$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{10}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=21$$

Cyfnewidiwch 21 am y yn x=\frac{8}{7}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{8}{7}\times 21+2$$

Lluoswch \frac{8}{7} â 21.

$$x=24+2$$

Adio 2 at 24.

$$x=26$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=26,y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x-8y=14,3x-2y=36$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&-8\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\36\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\36\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-\left(-8\times 3\right)}&-\frac{-8}{7\left(-2\right)-\left(-8\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\left(-2\right)-\left(-8\times 3\right)}&\frac{7}{7\left(-2\right)-\left(-8\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\36\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{7}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\36\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 14+\frac{4}{5}\times 36\\-\frac{3}{10}\times 14+\frac{7}{10}\times 36\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\21\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=26,y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x-8y=14,3x-2y=36$$

I wneud 7x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$3\times 7x+3\left(-8\right)y=3\times 14,7\times 3x+7\left(-2\right)y=7\times 36$$

Symleiddio.

$$21x-24y=42,21x-14y=252$$

Tynnwch 21x-14y=252 o 21x-24y=42 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$21x-21x-24y+14y=42-252$$

Adio 21x at -21x. Mae'r termau 21x a -21x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-24y+14y=42-252$$

Adio -24y at 14y.

$$-10y=42-252$$

Adio 42 at -252.

$$-10y=-210$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$y=21$$

Cyfnewidiwch 21 am y yn 3x-2y=36. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-2\times 21=36$$

Lluoswch -2 â 21.

$$3x-42=36$$

Adio 42 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=78$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=26$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=26,y=21$$