Datrys {l}{7x+2y=24}{8x+2y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { 8 x + 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=6$$

$$y=-9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x+2y=24$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=-2y+24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Amnewid \frac{-2y+24}{7} am x yn yr hafaliad arall, 8x+2y=30.

$$8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=30$$

Lluoswch 8 â \frac{-2y+24}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{192}{7}+2y=30$$

Adio -\frac{16y}{7} at 2y.

$$-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}=30$$

Tynnu \frac{192}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{2}{7}y=\frac{18}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{2}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-9$$

Cyfnewidiwch -9 am y yn x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{24}{7}$$

Lluoswch -\frac{2}{7} â -9.

$$x=\frac{18+24}{7}$$

Adio \frac{24}{7} at \frac{18}{7} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=-9$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\times 8}&-\frac{2}{7\times 2-2\times 8}\\-\frac{8}{7\times 2-2\times 8}&\frac{7}{7\times 2-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\4&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24+30\\4\times 24-\frac{7}{2}\times 30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=6,y=-9$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Tynnwch 8x+2y=30 o 7x+2y=24 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$7x-8x+2y-2y=24-30$$

Adio 2y at -2y. Mae'r termau 2y a -2y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$7x-8x=24-30$$

Adio 7x at -8x.

$$-x=24-30$$

Adio 24 at -30.

$$-x=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=6$$

Cyfnewidiwch 6 am x yn 8x+2y=30. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$8\times 6+2y=30$$

Lluoswch 8 â 6.

$$48+2y=30$$

Tynnu 48 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=-9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=-9$$