Datrys {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Adio -6 a 5 i gael -1.

$$2x-1=y-1$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$2x-1-y=-1$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$2x-y=-1+1$$

Adio -1 a 1 i gael 0.

$$2x-y=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x+18y=43$$

Tynnu 18y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=-18y+43$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â -18y+43.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

Amnewid \frac{-18y+43}{7} am x yn yr hafaliad arall, 2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

Lluoswch 2 â \frac{-18y+43}{7}.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

Adio -\frac{36y}{7} at -y.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

Tynnu \frac{86}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{43}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

Lluoswch -\frac{18}{7} â 2.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

Adio \frac{43}{7} at -\frac{36}{7} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Adio -6 a 5 i gael -1.

$$2x-1=y-1$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$2x-1-y=-1$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$2x-y=-1+1$$

Adio -1 a 1 i gael 0.

$$2x-y=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Adio -6 a 5 i gael -1.

$$2x-1=y-1$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$2x-1-y=-1$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$2x-y=-1+1$$

Adio -1 a 1 i gael 0.

$$2x-y=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

I wneud 7x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

Symleiddio.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

Tynnwch 14x-7y=0 o 14x+36y=86 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

Adio 14x at -14x. Mae'r termau 14x a -14x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$36y+7y=86$$

Adio 36y at 7y.

$$43y=86$$

Rhannu’r ddwy ochr â 43.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 2x-y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-2=0$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$