Datrys {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=-2$$

$$b=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7a-10b=-64$$

Adio 10b at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7a=10b-64$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â 10b-64.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

Amnewid \frac{10b-64}{7} am a yn yr hafaliad arall, 3a+5b=19.

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

Lluoswch 3 â \frac{10b-64}{7}.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

Adio \frac{30b}{7} at 5b.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

Adio \frac{192}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{65}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$b=5$$

Cyfnewidiwch 5 am b yn a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

Lluoswch \frac{10}{7} â 5.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

Adio -\frac{64}{7} at \frac{50}{7} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=-2,b=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=-2,b=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

I wneud 7a a 3a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

Symleiddio.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

Tynnwch 21a+35b=133 o 21a-30b=-192 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

Adio 21a at -21a. Mae'r termau 21a a -21a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-30b-35b=-192-133$$

Adio -30b at -35b.

$$-65b=-192-133$$

Adio -192 at -133.

$$-65b=-325$$

Rhannu’r ddwy ochr â -65.

$$b=5$$

Cyfnewidiwch 5 am b yn 3a+5b=19. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$3a+5\times 5=19$$

Lluoswch 5 â 5.

$$3a+25=19$$

Tynnu 25 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3a=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$a=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=-2,b=5$$