Datrys {l}{6.5=60x+30y}{6=40y+50x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6.5 = 60 x + 30 y } \\ { 6 = 40 y + 50 x } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{4}{45}\approx 0.088888889$$

$$y=\frac{7}{180}\approx 0.038888889$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$60x+30y=6.5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$40y+50x=6$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$60x+30y=6.5,50x+40y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$60x+30y=6.5$$

Tynnu 30y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$60x=-30y+6.5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 60.

$$x=\frac{1}{60}\left(-30y+6.5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{60} â -30y+6.5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{120}$$

Amnewid -\frac{y}{2}+\frac{13}{120} am x yn yr hafaliad arall, 50x+40y=6.

$$50\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{120}\right)+40y=6$$

Lluoswch 50 â -\frac{y}{2}+\frac{13}{120}.

$$-25y+\frac{65}{12}+40y=6$$

Adio -25y at 40y.

$$15y+\frac{65}{12}=6$$

Tynnu \frac{65}{12} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$15y=\frac{7}{12}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$y=\frac{7}{180}$$

Cyfnewidiwch \frac{7}{180} am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{120}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{7}{180}+\frac{13}{120}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â \frac{7}{180} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{7}{360}+\frac{13}{120}$$

Adio \frac{13}{120} at -\frac{7}{360} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{4}{45}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{4}{45},y=\frac{7}{180}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$60x+30y=6.5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$40y+50x=6$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$60x+30y=6.5,50x+40y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}60&30\\50&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6.5\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}60&30\\50&40\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}60&30\\50&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60&30\\50&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&30\\50&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&30\\50&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&30\\50&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{60\times 40-30\times 50}&-\frac{30}{60\times 40-30\times 50}\\-\frac{50}{60\times 40-30\times 50}&\frac{60}{60\times 40-30\times 50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{45}&-\frac{1}{30}\\-\frac{1}{18}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{45}\times 6.5-\frac{1}{30}\times 6\\-\frac{1}{18}\times 6.5+\frac{1}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{45}\\\frac{7}{180}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{4}{45},y=\frac{7}{180}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$60x+30y=6.5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$40y+50x=6$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$60x+30y=6.5,50x+40y=6$$

I wneud 60x a 50x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 50 a holl dermau naill ochr yr ail â 60.

$$50\times 60x+50\times 30y=50\times 6.5,60\times 50x+60\times 40y=60\times 6$$

Symleiddio.

$$3000x+1500y=325,3000x+2400y=360$$

Tynnwch 3000x+2400y=360 o 3000x+1500y=325 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3000x-3000x+1500y-2400y=325-360$$

Adio 3000x at -3000x. Mae'r termau 3000x a -3000x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$1500y-2400y=325-360$$

Adio 1500y at -2400y.

$$-900y=325-360$$

Adio 325 at -360.

$$-900y=-35$$

Rhannu’r ddwy ochr â -900.

$$y=\frac{7}{180}$$

Cyfnewidiwch \frac{7}{180} am y yn 50x+40y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$50x+40\times \frac{7}{180}=6$$

Lluoswch 40 â \frac{7}{180}.

$$50x+\frac{14}{9}=6$$

Tynnu \frac{14}{9} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$50x=\frac{40}{9}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 50.

$$x=\frac{4}{45}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{4}{45},y=\frac{7}{180}$$