Datrys {l}{6x-3y=12}{2x+2y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 3 y = 12 } \\ { 2 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6x-3y=12,2x+2y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6x-3y=12$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=3y+12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(3y+12\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â 12+3y.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Amnewid \frac{y}{2}+2 am x yn yr hafaliad arall, 2x+2y=10.

$$2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+2y=10$$

Lluoswch 2 â \frac{y}{2}+2.

$$y+4+2y=10$$

Adio y at 2y.

$$3y+4=10$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=\frac{1}{2}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\times 2+2$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 2.

$$x=1+2$$

Adio 2 at 1.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6x-3y=12,2x+2y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 12+\frac{1}{6}\times 10\\-\frac{1}{9}\times 12+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6x-3y=12,2x+2y=10$$

I wneud 6x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 12,6\times 2x+6\times 2y=6\times 10$$

Symleiddio.

$$12x-6y=24,12x+12y=60$$

Tynnwch 12x+12y=60 o 12x-6y=24 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x-6y-12y=24-60$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-6y-12y=24-60$$

Adio -6y at -12y.

$$-18y=24-60$$

Adio 24 at -60.

$$-18y=-36$$

Rhannu’r ddwy ochr â -18.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 2x+2y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+2\times 2=10$$

Lluoswch 2 â 2.

$$2x+4=10$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=2$$