Datrys {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6x-18y=-85$$

Adio 18y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=18y-85$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â 18y-85.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

Amnewid 3y-\frac{85}{6} am x yn yr hafaliad arall, 24x-5y=-5.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

Lluoswch 24 â 3y-\frac{85}{6}.

$$72y-340-5y=-5$$

Adio 72y at -5y.

$$67y-340=-5$$

Adio 340 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$67y=335$$

Rhannu’r ddwy ochr â 67.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=3y-\frac{85}{6}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

Lluoswch 3 â 5.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

Adio -\frac{85}{6} at 15.

$$x=\frac{5}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

I wneud 6x a 24x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 24 a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

Symleiddio.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

Tynnwch 144x-30y=-30 o 144x-432y=-2040 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

Adio 144x at -144x. Mae'r termau 144x a -144x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-432y+30y=-2040+30$$

Adio -432y at 30y.

$$-402y=-2040+30$$

Adio -2040 at 30.

$$-402y=-2010$$

Rhannu’r ddwy ochr â -402.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 24x-5y=-5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$24x-5\times 5=-5$$

Lluoswch -5 â 5.

$$24x-25=-5$$

Adio 25 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$24x=20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 24.

$$x=\frac{5}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$