Datrys {l}{6x+y=-9}{2x-3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + y = - 9 } \\ { 2 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6x+y=-9$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=-y-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y-9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â -y-9.

$$x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}$$

Amnewid -\frac{y}{6}-\frac{3}{2} am x yn yr hafaliad arall, 2x-3y=7.

$$2\left(-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}\right)-3y=7$$

Lluoswch 2 â -\frac{y}{6}-\frac{3}{2}.

$$-\frac{1}{3}y-3-3y=7$$

Adio -\frac{y}{3} at -3y.

$$-\frac{10}{3}y-3=7$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{10}{3}y=10$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{10}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-3\right)-\frac{3}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{6} â -3.

$$x=\frac{1-3}{2}$$

Adio -\frac{3}{2} at \frac{1}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{6\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{6\left(-3\right)-2}&\frac{6}{6\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\left(-9\right)+\frac{1}{20}\times 7\\\frac{1}{10}\left(-9\right)-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-1,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

I wneud 6x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$2\times 6x+2y=2\left(-9\right),6\times 2x+6\left(-3\right)y=6\times 7$$

Symleiddio.

$$12x+2y=-18,12x-18y=42$$

Tynnwch 12x-18y=42 o 12x+2y=-18 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+2y+18y=-18-42$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y+18y=-18-42$$

Adio 2y at 18y.

$$20y=-18-42$$

Adio -18 at -42.

$$20y=-60$$

Rhannu’r ddwy ochr â 20.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn 2x-3y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-3\left(-3\right)=7$$

Lluoswch -3 â -3.

$$2x+9=7$$

Tynnu 9 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=-3$$