Datrys {l}{6x+8y=20}{5y+3x=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 8 y = 20 } \\ { 5 y + 3 x = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=6$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6x+8y=20$$

Tynnu 8y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=-8y+20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+20\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â -8y+20.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

Amnewid \frac{-4y+10}{3} am x yn yr hafaliad arall, 3x+5y=8.

$$3\left(-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}\right)+5y=8$$

Lluoswch 3 â \frac{-4y+10}{3}.

$$-4y+10+5y=8$$

Adio -4y at 5y.

$$y+10=8$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-2\right)+\frac{10}{3}$$

Lluoswch -\frac{4}{3} â -2.

$$x=\frac{8+10}{3}$$

Adio \frac{10}{3} at \frac{8}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-8\times 3}&-\frac{8}{6\times 5-8\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-8\times 3}&\frac{6}{6\times 5-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{4}{3}\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\times 20-\frac{4}{3}\times 8\\-\frac{1}{2}\times 20+8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=6,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

I wneud 6x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$3\times 6x+3\times 8y=3\times 20,6\times 3x+6\times 5y=6\times 8$$

Symleiddio.

$$18x+24y=60,18x+30y=48$$

Tynnwch 18x+30y=48 o 18x+24y=60 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$18x-18x+24y-30y=60-48$$

Adio 18x at -18x. Mae'r termau 18x a -18x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$24y-30y=60-48$$

Adio 24y at -30y.

$$-6y=60-48$$

Adio 60 at -48.

$$-6y=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn 3x+5y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+5\left(-2\right)=8$$

Lluoswch 5 â -2.

$$3x-10=8$$

Adio 10 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=-2$$