Datrys {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=50$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6x+15y=360$$

Tynnu 15y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=-15y+360$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â -15y+360.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Amnewid -\frac{5y}{2}+60 am x yn yr hafaliad arall, 8x+10y=440.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

Lluoswch 8 â -\frac{5y}{2}+60.

$$-20y+480+10y=440$$

Adio -20y at 10y.

$$-10y+480=440$$

Tynnu 480 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-10y=-40$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=-\frac{5}{2}y+60. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

Lluoswch -\frac{5}{2} â 4.

$$x=-10+60$$

Adio 60 at -10.

$$x=50$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=50,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=50,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

I wneud 6x a 8x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 8 a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

Symleiddio.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

Tynnwch 48x+60y=2640 o 48x+120y=2880 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

Adio 48x at -48x. Mae'r termau 48x a -48x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$120y-60y=2880-2640$$

Adio 120y at -60y.

$$60y=2880-2640$$

Adio 2880 at -2640.

$$60y=240$$

Rhannu’r ddwy ochr â 60.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 8x+10y=440. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$8x+10\times 4=440$$

Lluoswch 10 â 4.

$$8x+40=440$$

Tynnu 40 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=400$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=50$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=50,y=4$$