Datrys {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer u, v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer u drwy ynysu u ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6u+4v=5$$

Tynnu 4v o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6u=-4v+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â -4v+5.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

Amnewid -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} am u yn yr hafaliad arall, 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

Lluoswch 9 â -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

Adio -6v at -8v.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

Tynnu \frac{15}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -14.

$$v=\frac{1}{4}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{4} am v yn u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer u yn uniongyrchol.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â \frac{1}{4} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

Adio \frac{5}{6} at -\frac{1}{6} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$u=\frac{2}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics u a v.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

I wneud 6u a 9u yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 9 a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

Symleiddio.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

Tynnwch 54u-48v=24 o 54u+36v=45 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

Adio 54u at -54u. Mae'r termau 54u a -54u yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$36v+48v=45-24$$

Adio 36v at 48v.

$$84v=45-24$$

Adio 45 at -24.

$$84v=21$$

Rhannu’r ddwy ochr â 84.

$$v=\frac{1}{4}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{4} am v yn 9u-8v=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer u yn uniongyrchol.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

Lluoswch -8 â \frac{1}{4}.

$$9u-2=4$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9u=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$u=\frac{2}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$