Datrys {l}{50a+40b=40050}{60a+52b=5000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 a + 40 b = 40050 } \\ { 60 a + 52 b = 5000 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=9413$$

$$b=-10765$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$50a+40b=40050$$

Tynnu 40b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$50a=-40b+40050$$

Rhannu’r ddwy ochr â 50.

$$a=\frac{1}{50}\left(-40b+40050\right)$$

Lluoswch \frac{1}{50} â -40b+40050.

$$a=-\frac{4}{5}b+801$$

Amnewid -\frac{4b}{5}+801 am a yn yr hafaliad arall, 60a+52b=5000.

$$60\left(-\frac{4}{5}b+801\right)+52b=5000$$

Lluoswch 60 â -\frac{4b}{5}+801.

$$-48b+48060+52b=5000$$

Adio -48b at 52b.

$$4b+48060=5000$$

Tynnu 48060 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4b=-43060$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$b=-10765$$

Cyfnewidiwch -10765 am b yn a=-\frac{4}{5}b+801. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-\frac{4}{5}\left(-10765\right)+801$$

Lluoswch -\frac{4}{5} â -10765.

$$a=8612+801$$

Adio 801 at 8612.

$$a=9413$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=9413,b=-10765$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{50\times 52-40\times 60}&-\frac{40}{50\times 52-40\times 60}\\-\frac{60}{50\times 52-40\times 60}&\frac{50}{50\times 52-40\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{50}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{50}\times 40050-\frac{1}{5}\times 5000\\-\frac{3}{10}\times 40050+\frac{1}{4}\times 5000\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9413\\-10765\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=9413,b=-10765$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

I wneud 50a a 60a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 60 a holl dermau naill ochr yr ail â 50.

$$60\times 50a+60\times 40b=60\times 40050,50\times 60a+50\times 52b=50\times 5000$$

Symleiddio.

$$3000a+2400b=2403000,3000a+2600b=250000$$

Tynnwch 3000a+2600b=250000 o 3000a+2400b=2403000 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3000a-3000a+2400b-2600b=2403000-250000$$

Adio 3000a at -3000a. Mae'r termau 3000a a -3000a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2400b-2600b=2403000-250000$$

Adio 2400b at -2600b.

$$-200b=2403000-250000$$

Adio 2403000 at -250000.

$$-200b=2153000$$

Rhannu’r ddwy ochr â -200.

$$b=-10765$$

Cyfnewidiwch -10765 am b yn 60a+52b=5000. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$60a+52\left(-10765\right)=5000$$

Lluoswch 52 â -10765.

$$60a-559780=5000$$

Adio 559780 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$60a=564780$$

Rhannu’r ddwy ochr â 60.

$$a=9413$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=9413,b=-10765$$