Datrys {l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, z

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5y-4z=-1$$

Adio 4z at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=4z-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 4z-1.

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

Amnewid \frac{4z-1}{5} am y yn yr hafaliad arall, -7y+7z=9.

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

Lluoswch -7 â \frac{4z-1}{5}.

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

Adio -\frac{28z}{5} at 7z.

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

Tynnu \frac{7}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{7}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$z=\frac{38}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{38}{7} am z yn y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

Lluoswch \frac{4}{5} â \frac{38}{7} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

Adio -\frac{1}{5} at \frac{152}{35} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=\frac{29}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a z.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

I wneud 5y a -7y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -7 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

Symleiddio.

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

Tynnwch -35y+35z=45 o -35y+28z=7 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

Adio -35y at 35y. Mae'r termau -35y a 35y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$28z-35z=7-45$$

Adio 28z at -35z.

$$-7z=7-45$$

Adio 7 at -45.

$$-7z=-38$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$z=\frac{38}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{38}{7} am z yn -7y+7z=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

Lluoswch 7 â \frac{38}{7}.

$$-7y+38=9$$

Tynnu 38 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7y=-29$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=\frac{29}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$