Datrys {l}{5x-y=13}{2x+3y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 13 } \\ { 2 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-y=13$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=y+13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+13\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â y+13.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}$$

Amnewid \frac{13+y}{5} am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=12.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}\right)+3y=12$$

Lluoswch 2 â \frac{13+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{26}{5}+3y=12$$

Adio \frac{2y}{5} at 3y.

$$\frac{17}{5}y+\frac{26}{5}=12$$

Tynnu \frac{26}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{17}{5}y=\frac{34}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{17}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{5}\times 2+\frac{13}{5}$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 2.

$$x=\frac{2+13}{5}$$

Adio \frac{13}{5} at \frac{2}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 13+\frac{1}{17}\times 12\\-\frac{2}{17}\times 13+\frac{5}{17}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

I wneud 5x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 13,5\times 2x+5\times 3y=5\times 12$$

Symleiddio.

$$10x-2y=26,10x+15y=60$$

Tynnwch 10x+15y=60 o 10x-2y=26 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x-2y-15y=26-60$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y-15y=26-60$$

Adio -2y at -15y.

$$-17y=26-60$$

Adio 26 at -60.

$$-17y=-34$$

Rhannu’r ddwy ochr â -17.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 2x+3y=12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+3\times 2=12$$

Lluoswch 3 â 2.

$$2x+6=12$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=2$$