Datrys {l}{5x-y=110}{9y-x=110}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-y=110$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=y+110$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â y+110.

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

Amnewid \frac{y}{5}+22 am x yn yr hafaliad arall, -x+9y=110.

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

Lluoswch -1 â \frac{y}{5}+22.

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

Adio -\frac{y}{5} at 9y.

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

Adio 22 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{44}{5}y=132$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{44}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=15$$

Cyfnewidiwch 15 am y yn x=\frac{1}{5}y+22. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 15.

$$x=3+22$$

Adio 22 at 3.

$$x=25$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=25,y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=25,y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

I wneud 5x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

Symleiddio.

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

Tynnwch -5x+45y=550 o -5x+y=-110 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

Adio -5x at 5x. Mae'r termau -5x a 5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y-45y=-110-550$$

Adio y at -45y.

$$-44y=-110-550$$

Adio -110 at -550.

$$-44y=-660$$

Rhannu’r ddwy ochr â -44.

$$y=15$$

Cyfnewidiwch 15 am y yn -x+9y=110. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+9\times 15=110$$

Lluoswch 9 â 15.

$$-x+135=110$$

Tynnu 135 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-25$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=25$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=25,y=15$$