Datrys {l}{5x-4y=11}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-4y=11$$

Adio 4y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=4y+11$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 4y+11.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

Amnewid \frac{4y+11}{5} am x yn yr hafaliad arall, 3x+2y=7.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

Lluoswch 3 â \frac{4y+11}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

Adio \frac{12y}{5} at 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

Tynnu \frac{33}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{22}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{1}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{11} am y yn x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

Lluoswch \frac{4}{5} â \frac{1}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

Adio \frac{11}{5} at \frac{4}{55} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{25}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

I wneud 5x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

Symleiddio.

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

Tynnwch 15x+10y=35 o 15x-12y=33 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-12y-10y=33-35$$

Adio -12y at -10y.

$$-22y=33-35$$

Adio 33 at -35.

$$-22y=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -22.

$$y=\frac{1}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{11} am y yn 3x+2y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

Lluoswch 2 â \frac{1}{11}.

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

Tynnu \frac{2}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=\frac{75}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{25}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$