Datrys {l}{5x-3y=28}{12x+4y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 28 } \\ { 12 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=-6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-3y=28$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=3y+28$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+28\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 3y+28.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}$$

Amnewid \frac{3y+28}{5} am x yn yr hafaliad arall, 12x+4y=0.

$$12\left(\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}\right)+4y=0$$

Lluoswch 12 â \frac{3y+28}{5}.

$$\frac{36}{5}y+\frac{336}{5}+4y=0$$

Adio \frac{36y}{5} at 4y.

$$\frac{56}{5}y+\frac{336}{5}=0$$

Tynnu \frac{336}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{56}{5}y=-\frac{336}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{56}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-6$$

Cyfnewidiwch -6 am y yn x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{28}{5}$$

Lluoswch \frac{3}{5} â -6.

$$x=\frac{-18+28}{5}$$

Adio \frac{28}{5} at -\frac{18}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=-6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{56}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{56}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 28\\-\frac{3}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=-6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

I wneud 5x a 12x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 12 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$12\times 5x+12\left(-3\right)y=12\times 28,5\times 12x+5\times 4y=0$$

Symleiddio.

$$60x-36y=336,60x+20y=0$$

Tynnwch 60x+20y=0 o 60x-36y=336 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$60x-60x-36y-20y=336$$

Adio 60x at -60x. Mae'r termau 60x a -60x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-36y-20y=336$$

Adio -36y at -20y.

$$-56y=336$$

Rhannu’r ddwy ochr â -56.

$$y=-6$$

Cyfnewidiwch -6 am y yn 12x+4y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$12x+4\left(-6\right)=0$$

Lluoswch 4 â -6.

$$12x-24=0$$

Adio 24 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$12x=24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=-6$$