Datrys {l}{5x-2y=4}{2x-5y=-11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 4 } \\ { 2 x - 5 y = - 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-2y=4,2x-5y=-11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-2y=4$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=2y+4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

Amnewid \frac{4+2y}{5} am x yn yr hafaliad arall, 2x-5y=-11.

$$2\left(\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}\right)-5y=-11$$

Lluoswch 2 â \frac{4+2y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}-5y=-11$$

Adio \frac{4y}{5} at -5y.

$$-\frac{21}{5}y+\frac{8}{5}=-11$$

Tynnu \frac{8}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{21}{5}y=-\frac{63}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{21}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{4}{5}$$

Lluoswch \frac{2}{5} â 3.

$$x=\frac{6+4}{5}$$

Adio \frac{4}{5} at \frac{6}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-2y=4,2x-5y=-11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\\frac{2}{21}&-\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 4-\frac{2}{21}\left(-11\right)\\\frac{2}{21}\times 4-\frac{5}{21}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-2y=4,2x-5y=-11$$

I wneud 5x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=2\times 4,5\times 2x+5\left(-5\right)y=5\left(-11\right)$$

Symleiddio.

$$10x-4y=8,10x-25y=-55$$

Tynnwch 10x-25y=-55 o 10x-4y=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x-4y+25y=8+55$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y+25y=8+55$$

Adio -4y at 25y.

$$21y=8+55$$

Adio 8 at 55.

$$21y=63$$

Rhannu’r ddwy ochr â 21.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 2x-5y=-11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-5\times 3=-11$$

Lluoswch -5 â 3.

$$2x-15=-11$$

Adio 15 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=3$$