Datrys {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=30$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+y=35$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-y+35$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -y+35.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

Amnewid -\frac{y}{5}+7 am x yn yr hafaliad arall, 7x+1.1y=40.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1.1y=40$$

Lluoswch 7 â -\frac{y}{5}+7.

$$-\frac{7}{5}y+49+1.1y=40$$

Adio -\frac{7y}{5} at \frac{11y}{10}.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

Tynnu 49 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{3}{10}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=30$$

Cyfnewidiwch 30 am y yn x=-\frac{1}{5}y+7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

Lluoswch -\frac{1}{5} â 30.

$$x=-6+7$$

Adio 7 at -6.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=30$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.1}{5\times 1.1-7}&-\frac{1}{5\times 1.1-7}\\-\frac{7}{5\times 1.1-7}&\frac{5}{5\times 1.1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=30$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

I wneud 5x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$7\times 5x+7y=7\times 35,5\times 7x+5\times 1.1y=5\times 40$$

Symleiddio.

$$35x+7y=245,35x+5.5y=200$$

Tynnwch 35x+5.5y=200 o 35x+7y=245 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$35x-35x+7y-5.5y=245-200$$

Adio 35x at -35x. Mae'r termau 35x a -35x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$7y-5.5y=245-200$$

Adio 7y at -\frac{11y}{2}.

$$1.5y=245-200$$

Adio 245 at -200.

$$1.5y=45$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 1.5, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=30$$

Cyfnewidiwch 30 am y yn 7x+1.1y=40. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x+1.1\times 30=40$$

Lluoswch 1.1 â 30.

$$7x+33=40$$

Tynnu 33 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=30$$