Datrys {l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=160$$

$$y=180$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. I ddod o hyd i wrthwyneb 2x+4y, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$1020=2060-2x-4y$$

Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$2060-2x-4y=1020$$

Tynnu 2060 o'r ddwy ochr.

$$-2x-4y=1020-2060$$

Tynnu 2060 o 1020 i gael -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+7y=2060$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-7y+2060$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -7y+2060.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

Amnewid -\frac{7y}{5}+412 am x yn yr hafaliad arall, -2x-4y=-1040.

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

Lluoswch -2 â -\frac{7y}{5}+412.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

Adio \frac{14y}{5} at -4y.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

Adio 824 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{6}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=180$$

Cyfnewidiwch 180 am y yn x=-\frac{7}{5}y+412. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

Lluoswch -\frac{7}{5} â 180.

$$x=-252+412$$

Adio 412 at -252.

$$x=160$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=160,y=180$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. I ddod o hyd i wrthwyneb 2x+4y, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$1020=2060-2x-4y$$

Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$2060-2x-4y=1020$$

Tynnu 2060 o'r ddwy ochr.

$$-2x-4y=1020-2060$$

Tynnu 2060 o 1020 i gael -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=160,y=180$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. I ddod o hyd i wrthwyneb 2x+4y, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$1020=2060-2x-4y$$

Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$2060-2x-4y=1020$$

Tynnu 2060 o'r ddwy ochr.

$$-2x-4y=1020-2060$$

Tynnu 2060 o 1020 i gael -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

I wneud 5x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

Symleiddio.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

Tynnwch -10x-20y=-5200 o -10x-14y=-4120 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

Adio -10x at 10x. Mae'r termau -10x a 10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

Adio -14y at 20y.

$$6y=-4120+5200$$

Adio -4120 at 5200.

$$6y=1080$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$y=180$$

Cyfnewidiwch 180 am y yn -2x-4y=-1040. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

Lluoswch -4 â 180.

$$-2x-720=-1040$$

Adio 720 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-320$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=160$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=160,y=180$$