Datrys {l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+5y=15$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-5y+15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -5y+15.

$$x=-y+3$$

Amnewid -y+3 am x yn yr hafaliad arall, 4x+10y=-2.

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

Lluoswch 4 â -y+3.

$$-4y+12+10y=-2$$

Adio -4y at 10y.

$$6y+12=-2$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6y=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{7}{3} am y yn x=-y+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

Lluoswch -1 â -\frac{7}{3}.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

Adio 3 at \frac{7}{3}.

$$x=\frac{16}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

I wneud 5x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

Symleiddio.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

Tynnwch 20x+50y=-10 o 20x+20y=60 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

Adio 20x at -20x. Mae'r termau 20x a -20x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$20y-50y=60+10$$

Adio 20y at -50y.

$$-30y=60+10$$

Adio 60 at 10.

$$-30y=70$$

Rhannu’r ddwy ochr â -30.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{7}{3} am y yn 4x+10y=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

Lluoswch 10 â -\frac{7}{3}.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

Adio \frac{70}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{64}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{16}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$