Datrys {l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+4y=-3$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-4y-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -4y-3.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Amnewid \frac{-4y-3}{5} am x yn yr hafaliad arall, 6x+3y=-2.

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

Lluoswch 6 â \frac{-4y-3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

Adio -\frac{24y}{5} at 3y.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

Adio \frac{18}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{9}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{8}{9}$$

Cyfnewidiwch -\frac{8}{9} am y yn x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

Lluoswch -\frac{4}{5} â -\frac{8}{9} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

Adio -\frac{3}{5} at \frac{32}{45} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{1}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

I wneud 5x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

Symleiddio.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

Tynnwch 30x+15y=-10 o 30x+24y=-18 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

Adio 30x at -30x. Mae'r termau 30x a -30x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$24y-15y=-18+10$$

Adio 24y at -15y.

$$9y=-18+10$$

Adio -18 at 10.

$$9y=-8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$y=-\frac{8}{9}$$

Cyfnewidiwch -\frac{8}{9} am y yn 6x+3y=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

Lluoswch 3 â -\frac{8}{9}.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

Adio \frac{8}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=\frac{2}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$