Datrys {l}{5x+3y=6}{7x+5y=56}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 7 x + 5 y = 56 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{69}{2} = -34\frac{1}{2} = -34.5$$

$$y = \frac{119}{2} = 59\frac{1}{2} = 59.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+3y=6,7x+5y=56$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+3y=6$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-3y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -3y+6.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Amnewid \frac{-3y+6}{5} am x yn yr hafaliad arall, 7x+5y=56.

$$7\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=56$$

Lluoswch 7 â \frac{-3y+6}{5}.

$$-\frac{21}{5}y+\frac{42}{5}+5y=56$$

Adio -\frac{21y}{5} at 5y.

$$\frac{4}{5}y+\frac{42}{5}=56$$

Tynnu \frac{42}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{4}{5}y=\frac{238}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{4}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{119}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{119}{2} am y yn x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{119}{2}+\frac{6}{5}$$

Lluoswch -\frac{3}{5} â \frac{119}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{357}{10}+\frac{6}{5}$$

Adio \frac{6}{5} at -\frac{357}{10} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{69}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{69}{2},y=\frac{119}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+3y=6,7x+5y=56$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{5\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{5\times 5-3\times 7}&\frac{5}{5\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{7}{4}&\frac{5}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 6-\frac{3}{4}\times 56\\-\frac{7}{4}\times 6+\frac{5}{4}\times 56\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{69}{2}\\\frac{119}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{69}{2},y=\frac{119}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+3y=6,7x+5y=56$$

I wneud 5x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$7\times 5x+7\times 3y=7\times 6,5\times 7x+5\times 5y=5\times 56$$

Symleiddio.

$$35x+21y=42,35x+25y=280$$

Tynnwch 35x+25y=280 o 35x+21y=42 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$35x-35x+21y-25y=42-280$$

Adio 35x at -35x. Mae'r termau 35x a -35x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$21y-25y=42-280$$

Adio 21y at -25y.

$$-4y=42-280$$

Adio 42 at -280.

$$-4y=-238$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$y=\frac{119}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{119}{2} am y yn 7x+5y=56. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x+5\times \frac{119}{2}=56$$

Lluoswch 5 â \frac{119}{2}.

$$7x+\frac{595}{2}=56$$

Tynnu \frac{595}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=-\frac{483}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=-\frac{69}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{69}{2},y=\frac{119}{2}$$