Datrys {l}{5x+2y=10}{x-3y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 10 } \\ { x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{40}{17} = 2\frac{6}{17} \approx 2.352941176$$

$$y=-\frac{15}{17}\approx -0.882352941$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+2y=10,x-3y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+2y=10$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-2y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2y+10.

$$x=-\frac{2}{5}y+2$$

Amnewid -\frac{2y}{5}+2 am x yn yr hafaliad arall, x-3y=5.

$$-\frac{2}{5}y+2-3y=5$$

Adio -\frac{2y}{5} at -3y.

$$-\frac{17}{5}y+2=5$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{17}{5}y=3$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{17}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{15}{17}$$

Cyfnewidiwch -\frac{15}{17} am y yn x=-\frac{2}{5}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{15}{17}\right)+2$$

Lluoswch -\frac{2}{5} â -\frac{15}{17} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{6}{17}+2$$

Adio 2 at \frac{6}{17}.

$$x=\frac{40}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{40}{17},y=-\frac{15}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+2y=10,x-3y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2}\\-\frac{1}{5\left(-3\right)-2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 10+\frac{2}{17}\times 5\\\frac{1}{17}\times 10-\frac{5}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{17}\\-\frac{15}{17}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{40}{17},y=-\frac{15}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+2y=10,x-3y=5$$

I wneud 5x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$5x+2y=10,5x+5\left(-3\right)y=5\times 5$$

Symleiddio.

$$5x+2y=10,5x-15y=25$$

Tynnwch 5x-15y=25 o 5x+2y=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-5x+2y+15y=10-25$$

Adio 5x at -5x. Mae'r termau 5x a -5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y+15y=10-25$$

Adio 2y at 15y.

$$17y=10-25$$

Adio 10 at -25.

$$17y=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$y=-\frac{15}{17}$$

Cyfnewidiwch -\frac{15}{17} am y yn x-3y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-3\left(-\frac{15}{17}\right)=5$$

Lluoswch -3 â -\frac{15}{17}.

$$x+\frac{45}{17}=5$$

Tynnu \frac{45}{17} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{40}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{40}{17},y=-\frac{15}{17}$$