Datrys {l}{48x+40y=1200}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1200 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

$$y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$48x+40y=1200$$

Tynnu 40y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$48x=-40y+1200$$

Rhannu’r ddwy ochr â 48.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1200\right)$$

Lluoswch \frac{1}{48} â -40y+1200.

$$x=-\frac{5}{6}y+25$$

Amnewid -\frac{5y}{6}+25 am x yn yr hafaliad arall, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+25\right)+80y=2800$$

Lluoswch 120 â -\frac{5y}{6}+25.

$$-100y+3000+80y=2800$$

Adio -100y at 80y.

$$-20y+3000=2800$$

Tynnu 3000 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-20y=-200$$

Rhannu’r ddwy ochr â -20.

$$y=10$$

Cyfnewidiwch 10 am y yn x=-\frac{5}{6}y+25. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{6}\times 10+25$$

Lluoswch -\frac{5}{6} â 10.

$$x=-\frac{25}{3}+25$$

Adio 25 at -\frac{25}{3}.

$$x=\frac{50}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1200+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1200-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\10\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

I wneud 48x a 120x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 120 a holl dermau naill ochr yr ail â 48.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1200,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

Symleiddio.

$$5760x+4800y=144000,5760x+3840y=134400$$

Tynnwch 5760x+3840y=134400 o 5760x+4800y=144000 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=144000-134400$$

Adio 5760x at -5760x. Mae'r termau 5760x a -5760x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4800y-3840y=144000-134400$$

Adio 4800y at -3840y.

$$960y=144000-134400$$

Adio 144000 at -134400.

$$960y=9600$$

Rhannu’r ddwy ochr â 960.

$$y=10$$

Cyfnewidiwch 10 am y yn 120x+80y=2800. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$120x+80\times 10=2800$$

Lluoswch 80 â 10.

$$120x+800=2800$$

Tynnu 800 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$120x=2000$$

Rhannu’r ddwy ochr â 120.

$$x=\frac{50}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$