Datrys {l}{4x-7y=-4}{7x+5y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = - 4 } \\ { 7 x + 5 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-1$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-7y=-4$$

Adio 7y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=7y-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y-4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 7y-4.

$$x=\frac{7}{4}y-1$$

Amnewid \frac{7y}{4}-1 am x yn yr hafaliad arall, 7x+5y=-7.

$$7\left(\frac{7}{4}y-1\right)+5y=-7$$

Lluoswch 7 â \frac{7y}{4}-1.

$$\frac{49}{4}y-7+5y=-7$$

Adio \frac{49y}{4} at 5y.

$$\frac{69}{4}y-7=-7$$

Adio 7 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{69}{4}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{69}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=\frac{7}{4}y-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}&\frac{7}{69}\\-\frac{7}{69}&\frac{4}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}\left(-4\right)+\frac{7}{69}\left(-7\right)\\-\frac{7}{69}\left(-4\right)+\frac{4}{69}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-1,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

I wneud 4x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$7\times 4x+7\left(-7\right)y=7\left(-4\right),4\times 7x+4\times 5y=4\left(-7\right)$$

Symleiddio.

$$28x-49y=-28,28x+20y=-28$$

Tynnwch 28x+20y=-28 o 28x-49y=-28 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$28x-28x-49y-20y=-28+28$$

Adio 28x at -28x. Mae'r termau 28x a -28x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-49y-20y=-28+28$$

Adio -49y at -20y.

$$-69y=-28+28$$

Adio -28 at 28.

$$-69y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â -69.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn 7x+5y=-7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x=-7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=0$$