Datrys {l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-5y=9$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=5y+9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 5y+9.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

Amnewid \frac{5y+9}{4} am x yn yr hafaliad arall, 7x-4y=15.

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

Lluoswch 7 â \frac{5y+9}{4}.

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

Adio \frac{35y}{4} at -4y.

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

Tynnu \frac{63}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{19}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{3}{19}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3}{19} am y yn x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

Lluoswch \frac{5}{4} â -\frac{3}{19} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

Adio \frac{9}{4} at -\frac{15}{76} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{39}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

I wneud 4x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

Symleiddio.

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

Tynnwch 28x-16y=60 o 28x-35y=63 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

Adio 28x at -28x. Mae'r termau 28x a -28x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-35y+16y=63-60$$

Adio -35y at 16y.

$$-19y=63-60$$

Adio 63 at -60.

$$-19y=3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -19.

$$y=-\frac{3}{19}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3}{19} am y yn 7x-4y=15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

Lluoswch -4 â -\frac{3}{19}.

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

Tynnu \frac{12}{19} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=\frac{273}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{39}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$