Datrys {l}{4x-3y=5}{4x+6y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 5 } \\ { 4 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-3y=5,4x+6y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-3y=5$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=3y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 3y+5.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Amnewid \frac{3y+5}{4} am x yn yr hafaliad arall, 4x+6y=4.

$$4\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+6y=4$$

Lluoswch 4 â \frac{3y+5}{4}.

$$3y+5+6y=4$$

Adio 3y at 6y.

$$9y+5=4$$

Tynnu 5 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9y=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{9} am y yn x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{9}\right)+\frac{5}{4}$$

Lluoswch \frac{3}{4} â -\frac{1}{9} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1}{12}+\frac{5}{4}$$

Adio \frac{5}{4} at -\frac{1}{12} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{7}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{7}{6},y=-\frac{1}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-3y=5,4x+6y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-3\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{4\times 6-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 6-\left(-3\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{12}\times 4\\-\frac{1}{9}\times 5+\frac{1}{9}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{7}{6},y=-\frac{1}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-3y=5,4x+6y=4$$

Tynnwch 4x+6y=4 o 4x-3y=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x-3y-6y=5-4$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3y-6y=5-4$$

Adio -3y at -6y.

$$-9y=5-4$$

Adio 5 at -4.

$$-9y=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{9} am y yn 4x+6y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+6\left(-\frac{1}{9}\right)=4$$

Lluoswch 6 â -\frac{1}{9}.

$$4x-\frac{2}{3}=4$$

Adio \frac{2}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{14}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{7}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{7}{6},y=-\frac{1}{9}$$