Datrys {l}{4x+y=5}{2x-y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 5 } \\ { 2 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+y=5$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Amnewid \frac{-y+5}{4} am x yn yr hafaliad arall, 2x-y=-2.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)-y=-2$$

Lluoswch 2 â \frac{-y+5}{4}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}-y=-2$$

Adio -\frac{y}{2} at -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=-2$$

Tynnu \frac{5}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{3}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â 3.

$$x=\frac{-3+5}{4}$$

Adio \frac{5}{4} at -\frac{3}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

I wneud 4x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$2\times 4x+2y=2\times 5,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\left(-2\right)$$

Symleiddio.

$$8x+2y=10,8x-4y=-8$$

Tynnwch 8x-4y=-8 o 8x+2y=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+2y+4y=10+8$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y+4y=10+8$$

Adio 2y at 4y.

$$6y=10+8$$

Adio 10 at 8.

$$6y=18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 2x-y=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-3=-2$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$