Datrys {l}{4x+y=3}{3x-3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 3 } \\ { 3 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{8}{15}\approx 0.533333333$$

$$y=\frac{13}{15}\approx 0.866666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+y=3$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-y+3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -y+3.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$$

Amnewid \frac{-y+3}{4} am x yn yr hafaliad arall, 3x-3y=-1.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=-1$$

Lluoswch 3 â \frac{-y+3}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}-3y=-1$$

Adio -\frac{3y}{4} at -3y.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{9}{4}=-1$$

Tynnu \frac{9}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{13}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{15}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{13}{15}$$

Cyfnewidiwch \frac{13}{15} am y yn x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{13}{15}+\frac{3}{4}$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â \frac{13}{15} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{13}{60}+\frac{3}{4}$$

Adio \frac{3}{4} at -\frac{13}{60} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{8}{15}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-3\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{15}\left(-1\right)\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{4}{15}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{15}\\\frac{13}{15}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

I wneud 4x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 3,4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\left(-1\right)$$

Symleiddio.

$$12x+3y=9,12x-12y=-4$$

Tynnwch 12x-12y=-4 o 12x+3y=9 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+3y+12y=9+4$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y+12y=9+4$$

Adio 3y at 12y.

$$15y=9+4$$

Adio 9 at 4.

$$15y=13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$y=\frac{13}{15}$$

Cyfnewidiwch \frac{13}{15} am y yn 3x-3y=-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-3\times \frac{13}{15}=-1$$

Lluoswch -3 â \frac{13}{15}.

$$3x-\frac{13}{5}=-1$$

Adio \frac{13}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=\frac{8}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{8}{15}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$