Datrys {l}{4x+y=-5}{3x-2y=-14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182$$

$$y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+y=-5$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-y-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -y-5.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}$$

Amnewid \frac{-y-5}{4} am x yn yr hafaliad arall, 3x-2y=-14.

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14$$

Lluoswch 3 â \frac{-y-5}{4}.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14$$

Adio -\frac{3y}{4} at -2y.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14$$

Adio \frac{15}{4} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{41}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{41}{11} am y yn x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â \frac{41}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}$$

Adio -\frac{5}{4} at -\frac{41}{44} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{24}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

I wneud 4x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)$$

Symleiddio.

$$12x+3y=-15,12x-8y=-56$$

Tynnwch 12x-8y=-56 o 12x+3y=-15 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+3y+8y=-15+56$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y+8y=-15+56$$

Adio 3y at 8y.

$$11y=-15+56$$

Adio -15 at 56.

$$11y=41$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=\frac{41}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{41}{11} am y yn 3x-2y=-14. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-2\times \frac{41}{11}=-14$$

Lluoswch -2 â \frac{41}{11}.

$$3x-\frac{82}{11}=-14$$

Adio \frac{82}{11} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-\frac{72}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-\frac{24}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$