Datrys {l}{4x+3y=-7}{3x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 7 } \\ { 3 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+3y=-7$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-3y-7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -3y-7.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

Amnewid \frac{-3y-7}{4} am x yn yr hafaliad arall, 3x-5y=2.

$$3\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)-5y=2$$

Lluoswch 3 â \frac{-3y-7}{4}.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}-5y=2$$

Adio -\frac{9y}{4} at -5y.

$$-\frac{29}{4}y-\frac{21}{4}=2$$

Adio \frac{21}{4} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{29}{4}y=\frac{29}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{29}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{4}$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â -1.

$$x=\frac{3-7}{4}$$

Adio -\frac{7}{4} at \frac{3}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-7\right)+\frac{3}{29}\times 2\\\frac{3}{29}\left(-7\right)-\frac{4}{29}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-1,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

I wneud 4x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\left(-7\right),4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 2$$

Symleiddio.

$$12x+9y=-21,12x-20y=8$$

Tynnwch 12x-20y=8 o 12x+9y=-21 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+9y+20y=-21-8$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y+20y=-21-8$$

Adio 9y at 20y.

$$29y=-21-8$$

Adio -21 at -8.

$$29y=-29$$

Rhannu’r ddwy ochr â 29.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn 3x-5y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-5\left(-1\right)=2$$

Lluoswch -5 â -1.

$$3x+5=2$$

Tynnu 5 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=-1$$