Datrys {l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+3y+14=0$$

Tynnu 14 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x+3y=-14$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-3y-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -3y-14.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

Amnewid -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} am x yn yr hafaliad arall, 2x+5y+16=0.

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

Lluoswch 2 â -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2}.

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

Adio -\frac{3y}{2} at 5y.

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

Adio -7 at 16.

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

Tynnu 9 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{7}{2}y=-9$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{7}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{18}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{18}{7} am y yn x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â -\frac{18}{7} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

Adio -\frac{7}{2} at \frac{27}{14} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{11}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

I wneud 4x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

Symleiddio.

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

Tynnwch 8x+20y+64=0 o 8x+6y+28=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y-20y+28-64=0$$

Adio 6y at -20y.

$$-14y+28-64=0$$

Adio 28 at -64.

$$-14y-36=0$$

Adio 36 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-14y=36$$

Rhannu’r ddwy ochr â -14.

$$y=-\frac{18}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{18}{7} am y yn 2x+5y+16=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

Lluoswch 5 â -\frac{18}{7}.

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

Adio -\frac{90}{7} at 16.

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

Tynnu \frac{22}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-\frac{22}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-\frac{11}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$