Datrys {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{31}{9} = 3\frac{4}{9} \approx 3.444444444$$

$$y = \frac{257}{45} = 5\frac{32}{45} \approx 5.711111111$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+2y=25.2$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-2y+25.2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25.2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -2y+25.2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

Amnewid -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} am x yn yr hafaliad arall, x+5y=32.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

Adio -\frac{y}{2} at 5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

Tynnu \frac{63}{10} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{9}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{257}{45}$$

Cyfnewidiwch \frac{257}{45} am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â \frac{257}{45} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

Adio \frac{63}{10} at -\frac{257}{90} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{31}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25.2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25.2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

I wneud 4x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$4x+2y=25.2,4x+4\times 5y=4\times 32$$

Symleiddio.

$$4x+2y=25.2,4x+20y=128$$

Tynnwch 4x+20y=128 o 4x+2y=25.2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x+2y-20y=25.2-128$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y-20y=25.2-128$$

Adio 2y at -20y.

$$-18y=25.2-128$$

Adio 25.2 at -128.

$$-18y=-102.8$$

Rhannu’r ddwy ochr â -18.

$$y=\frac{257}{45}$$

Cyfnewidiwch \frac{257}{45} am y yn x+5y=32. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

Lluoswch 5 â \frac{257}{45}.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

Tynnu \frac{257}{9} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{31}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$