Datrys {l}{4x+2y=-2}{2x+3y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = - 2 } \\ { 2 x + 3 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+2y=-2,2x+3y=-7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+2y=-2$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-2y-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y-2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -2y-2.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Amnewid \frac{-y-1}{2} am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=-7.

$$2\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=-7$$

Lluoswch 2 â \frac{-y-1}{2}.

$$-y-1+3y=-7$$

Adio -y at 3y.

$$2y-1=-7$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -3.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

Adio -\frac{1}{2} at \frac{3}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+2y=-2,2x+3y=-7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{4\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{4\times 3-2\times 2}&\frac{4}{4\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\left(-7\right)\\-\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+2y=-2,2x+3y=-7$$

I wneud 4x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$2\times 4x+2\times 2y=2\left(-2\right),4\times 2x+4\times 3y=4\left(-7\right)$$

Symleiddio.

$$8x+4y=-4,8x+12y=-28$$

Tynnwch 8x+12y=-28 o 8x+4y=-4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+4y-12y=-4+28$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y-12y=-4+28$$

Adio 4y at -12y.

$$-8y=-4+28$$

Adio -4 at 28.

$$-8y=24$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn 2x+3y=-7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+3\left(-3\right)=-7$$

Lluoswch 3 â -3.

$$2x-9=-7$$

Adio 9 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-3$$