Datrys {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer m, n

$$m=-2$$

$$n=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer m drwy ynysu m ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4m+9n=-35$$

Tynnu 9n o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4m=-9n-35$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -9n-35.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

Amnewid \frac{-9n-35}{4} am m yn yr hafaliad arall, 3m-8n=18.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

Lluoswch 3 â \frac{-9n-35}{4}.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

Adio -\frac{27n}{4} at -8n.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

Adio \frac{105}{4} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{59}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$n=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am n yn m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

Lluoswch -\frac{9}{4} â -3.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

Adio -\frac{35}{4} at \frac{27}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$m=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=-2,n=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics m a n.

$$m=-2,n=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

I wneud 4m a 3m yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

Symleiddio.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

Tynnwch 12m-32n=72 o 12m+27n=-105 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

Adio 12m at -12m. Mae'r termau 12m a -12m yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$27n+32n=-105-72$$

Adio 27n at 32n.

$$59n=-105-72$$

Adio -105 at -72.

$$59n=-177$$

Rhannu’r ddwy ochr â 59.

$$n=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am n yn 3m-8n=18. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

Lluoswch -8 â -3.

$$3m+24=18$$

Tynnu 24 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3m=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$m=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=-2,n=-3$$