Datrys {l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -7 â 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Cyfuno -4y a -14y i gael -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Cyfuno 8x a -7x i gael x.

$$x-18y=-36$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$-2x-7y=-18+4$$

Adio -18 a 4 i gael -14.

$$-2x-7y=-14$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-18y=-36$$

Adio 18y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=18y-36$$

Amnewid -36+18y am x yn yr hafaliad arall, -2x-7y=-14.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

Lluoswch -2 â -36+18y.

$$-36y+72-7y=-14$$

Adio -36y at -7y.

$$-43y+72=-14$$

Tynnu 72 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-43y=-86$$

Rhannu’r ddwy ochr â -43.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=18y-36. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=18\times 2-36$$

Lluoswch 18 â 2.

$$x=36-36$$

Adio -36 at 36.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -7 â 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Cyfuno -4y a -14y i gael -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Cyfuno 8x a -7x i gael x.

$$x-18y=-36$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$-2x-7y=-18+4$$

Adio -18 a 4 i gael -14.

$$-2x-7y=-14$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -7 â 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Cyfuno -4y a -14y i gael -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Cyfuno 8x a -7x i gael x.

$$x-18y=-36$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$-2x-7y=-18+4$$

Adio -18 a 4 i gael -14.

$$-2x-7y=-14$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

I wneud x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

Symleiddio.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

Tynnwch -2x-7y=-14 o -2x+36y=72 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

Adio -2x at 2x. Mae'r termau -2x a 2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$36y+7y=72+14$$

Adio 36y at 7y.

$$43y=72+14$$

Adio 72 at 14.

$$43y=86$$

Rhannu’r ddwy ochr â 43.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn -2x-7y=-14. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x-7\times 2=-14$$

Lluoswch -7 â 2.

$$-2x-14=-14$$

Adio 14 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=2$$