Datrys {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$361x+463y=-102$$

Tynnu 463y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$361x=-463y-102$$

Rhannu’r ddwy ochr â 361.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

Lluoswch \frac{1}{361} â -463y-102.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

Amnewid \frac{-463y-102}{361} am x yn yr hafaliad arall, 463x+361y=102.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

Lluoswch 463 â \frac{-463y-102}{361}.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

Adio -\frac{214369y}{361} at 361y.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

Adio \frac{47226}{361} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{84048}{361}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

Lluoswch -\frac{463}{361} â -1.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

Adio -\frac{102}{361} at \frac{463}{361} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

I wneud 361x a 463x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 463 a holl dermau naill ochr yr ail â 361.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

Symleiddio.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

Tynnwch 167143x+130321y=36822 o 167143x+214369y=-47226 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

Adio 167143x at -167143x. Mae'r termau 167143x a -167143x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

Adio 214369y at -130321y.

$$84048y=-47226-36822$$

Adio -47226 at -36822.

$$84048y=-84048$$

Rhannu’r ddwy ochr â 84048.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn 463x+361y=102. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

Lluoswch 361 â -1.

$$463x-361=102$$

Adio 361 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$463x=463$$

Rhannu’r ddwy ochr â 463.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-1$$