Datrys {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=20$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$30x+15y=675$$

Tynnu 15y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$30x=-15y+675$$

Rhannu’r ddwy ochr â 30.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

Lluoswch \frac{1}{30} â -15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Amnewid \frac{-y+45}{2} am x yn yr hafaliad arall, 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

Lluoswch 42 â \frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

Adio -21y at 20y.

$$-y+945=940$$

Tynnu 945 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

Adio \frac{45}{2} at -\frac{5}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=20$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=20,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=20,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

I wneud 30x a 42x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 42 a holl dermau naill ochr yr ail â 30.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

Symleiddio.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

Tynnwch 1260x+600y=28200 o 1260x+630y=28350 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

Adio 1260x at -1260x. Mae'r termau 1260x a -1260x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$630y-600y=28350-28200$$

Adio 630y at -600y.

$$30y=28350-28200$$

Adio 28350 at -28200.

$$30y=150$$

Rhannu’r ddwy ochr â 30.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 42x+20y=940. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$42x+20\times 5=940$$

Lluoswch 20 â 5.

$$42x+100=940$$

Tynnu 100 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$42x=840$$

Rhannu’r ddwy ochr â 42.

$$x=20$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=20,y=5$$