Datrys {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=3$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3y-7x=-9$$

Adio 7x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=7x-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 7x-9.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

Amnewid \frac{7x}{3}-3 am y yn yr hafaliad arall, 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

Lluoswch 2 â \frac{7x}{3}-3.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

Adio \frac{14x}{3} at 5x.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{29}{3}x=29$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{29}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=3$$

Cyfnewidiwch 3 am x yn y=\frac{7}{3}x-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

Lluoswch \frac{7}{3} â 3.

$$y=7-3$$

Adio -3 at 7.

$$y=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=4,x=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=4,x=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

I wneud 3y a 2y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

Symleiddio.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

Tynnwch 6y+15x=69 o 6y-14x=-18 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

Adio 6y at -6y. Mae'r termau 6y a -6y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-14x-15x=-18-69$$

Adio -14x at -15x.

$$-29x=-18-69$$

Adio -18 at -69.

$$-29x=-87$$

Rhannu’r ddwy ochr â -29.

$$x=3$$

Cyfnewidiwch 3 am x yn 2y+5x=23. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$2y+5\times 3=23$$

Lluoswch 5 â 3.

$$2y+15=23$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=4,x=3$$