Datrys {l}{3x-y=6}{5x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 5 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-y=6,5x+y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-y=6$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â y+6.

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

Amnewid \frac{y}{3}+2 am x yn yr hafaliad arall, 5x+y=10.

$$5\left(\frac{1}{3}y+2\right)+y=10$$

Lluoswch 5 â \frac{y}{3}+2.

$$\frac{5}{3}y+10+y=10$$

Adio \frac{5y}{3} at y.

$$\frac{8}{3}y+10=10$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{8}{3}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{8}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=\frac{1}{3}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-y=6,5x+y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 10\\-\frac{5}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-y=6,5x+y=10$$

I wneud 3x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 6,3\times 5x+3y=3\times 10$$

Symleiddio.

$$15x-5y=30,15x+3y=30$$

Tynnwch 15x+3y=30 o 15x-5y=30 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x-5y-3y=30-30$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-5y-3y=30-30$$

Adio -5y at -3y.

$$-8y=30-30$$

Adio 30 at -30.

$$-8y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn 5x+y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=0$$