Datrys {l}{3x-y=6}{2x+1/3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 2 x + \frac { 1 } { 3 } y = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-y=6$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â y+6.

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

Amnewid \frac{y}{3}+2 am x yn yr hafaliad arall, 2x+\frac{1}{3}y=8.

$$2\left(\frac{1}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=8$$

Lluoswch 2 â \frac{y}{3}+2.

$$\frac{2}{3}y+4+\frac{1}{3}y=8$$

Adio \frac{2y}{3} at \frac{y}{3}.

$$y+4=8$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=\frac{1}{3}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+2$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 4.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

Adio 2 at \frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{2}{3}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\times \frac{1}{3}y=3\times 8$$

Symleiddio.

$$6x-2y=12,6x+y=24$$

Tynnwch 6x+y=24 o 6x-2y=12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-2y-y=12-24$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y-y=12-24$$

Adio -2y at -y.

$$-3y=12-24$$

Adio 12 at -24.

$$-3y=-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 2x+\frac{1}{3}y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+\frac{1}{3}\times 4=8$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 4.

$$2x+\frac{4}{3}=8$$

Tynnu \frac{4}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{20}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{10}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$