Datrys {l}{3x-y=19}{2x+7y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 19 } \\ { 2 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=6$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-y=19$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=y+19$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+19\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â y+19.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}$$

Amnewid \frac{19+y}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x+7y=5.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}\right)+7y=5$$

Lluoswch 2 â \frac{19+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{38}{3}+7y=5$$

Adio \frac{2y}{3} at 7y.

$$\frac{23}{3}y+\frac{38}{3}=5$$

Tynnu \frac{38}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{23}{3}y=-\frac{23}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{23}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{19}{3}$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -1.

$$x=\frac{-1+19}{3}$$

Adio \frac{19}{3} at -\frac{1}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 7-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 7-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 19+\frac{1}{23}\times 5\\-\frac{2}{23}\times 19+\frac{3}{23}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=6,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19,3\times 2x+3\times 7y=3\times 5$$

Symleiddio.

$$6x-2y=38,6x+21y=15$$

Tynnwch 6x+21y=15 o 6x-2y=38 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-2y-21y=38-15$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y-21y=38-15$$

Adio -2y at -21y.

$$-23y=38-15$$

Adio 38 at -15.

$$-23y=23$$

Rhannu’r ddwy ochr â -23.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn 2x+7y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+7\left(-1\right)=5$$

Lluoswch 7 â -1.

$$2x-7=5$$

Adio 7 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=-1$$