Datrys {l}{3x-y=-1}{-x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = - 1 } \\ { - x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-y=-1$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=y-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â y-1.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Amnewid \frac{-1+y}{3} am x yn yr hafaliad arall, -x+2y=7.

$$-\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+2y=7$$

Lluoswch -1 â \frac{-1+y}{3}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}+2y=7$$

Adio -\frac{y}{3} at 2y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}=7$$

Tynnu \frac{1}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 4.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

Adio -\frac{1}{3} at \frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}\times 7\\\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

I wneud 3x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-3x-\left(-y\right)=-\left(-1\right),3\left(-1\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Symleiddio.

$$-3x+y=1,-3x+6y=21$$

Tynnwch -3x+6y=21 o -3x+y=1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3x+3x+y-6y=1-21$$

Adio -3x at 3x. Mae'r termau -3x a 3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y-6y=1-21$$

Adio y at -6y.

$$-5y=1-21$$

Adio 1 at -21.

$$-5y=-20$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn -x+2y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+2\times 4=7$$

Lluoswch 2 â 4.

$$-x+8=7$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=4$$